«Математика — моя жизнь, и от нее никуда не деться»

Математик Владимир Протасов на втором курсе бросил учебу в университете. Правда, через некоторое время восстановился и с тех пор занимается наукой. В прошлом году Протасов в 46 лет стал членом-корреспондентом РАН. Он рассказал новостной службе ВШЭ о бесконечной красоте математики и о том, как она делает реальностью то, что раньше считалось фантастикой.

Член-корреспондент РАН: обязанности и привилегии

Мой научный руководитель Сергей Владимирович Конягин, с которым я сотрудничаю еще со студенческих лет, очень хотел, чтобы я выдвинулся на членкора. Он сразу сказал, что шансов быть избранным с первого раза крайне мало, но надо пробовать. Я относился к выборам в РАН как к исполнению просьбы своего научного руководителя и особо не надеялся. Поэтому вдвойне был удивлен и польщен, узнав, что меня избрали. Тем более что я оказался в очень достойной компании, это первые выборы на моей памяти, где я не могу оспорить ни одной выбранной кандидатуры среди членов-корреспондентов и академиков.

Из привилегий обещают дать ежемесячную прибавку к зарплате в размере 50 тыс. рублей. С учетом семьи и детей это весьма кстати. Еще дали удостоверение, по которому я могу проходить во все академические институты страны. Кроме того, повышается общественный вес человека, избранного в Академию: к вашему мнению прислушиваются, вас всюду приглашают, т.к. всегда полезно иметь в штате лаборатории или при подаче на грант члена-корреспондента РАН. Я стараюсь не придавать этому значения, потому что я сам не изменился и остался тем же, каким был. Но, к сожалению, в нашей стране уважение к мундиру всегда было выше, чем к человеку. И я сейчас это ощущаю на себе. Обязанностей новых пока не появилось, кроме участия в заседаниях Академии. Хотя, как мы знаем в свете последних событий, и обязанности самой Академии сейчас не до конца ясны.

Физика и алхимия в «Кадашах»

В детстве у меня было много увлечений. Сначала я хотел стать физиком, как мой отец. Он работал в Горном институте и иногда брал меня в свою лабораторию в «Кадашах» — старое двухэтажное здание прямо напротив Кремля, на Кадашевской набережной. Там под ногами хлюпала вода, и нужно было переходить лужи по доскам. На стенах в разных местах были пятна от отбитой штукатурки и от плесени. Сотрудники лаборатории любовно старались завешивать их репродукциями гравюр из старинных книг — средневековые алхимики колдуют над своими пробирками. В лаборатории был конденсатор размером с бочку, который высекал молнии, были сверхточные весы, какие-то мощные паяльники и дрели. Отец с коллегами там испытывал новые методы разрушения горных пород для работы в шахте при добыче угля, руды, апатитов. У меня походы в папину лабораторию вызывали трепет и восторг. С тех пор я сохранил огромное уважение к профессии ученого и инженера.

Но мой роман с физикой не сложился. Постепенно я полюбил математику, стал решать задачки из «Кванта», папа выписывал все научно-популярные журналы, какие только были в то время. Учительница по математике заметила мой интерес и стала мне давать разные книжки с задачами. Моими первыми математическими книжками были «Новые встречи с геометрией» Грейтцера и Кокстера, «Что мы знаем и чего не знаем о простых числах» Серпинского, «Геометрия Лобачевского» Широкова. Я начал участвовать в олимпиадах и, главное, чувствовать наслаждение и «драйв» от процесса  решения красивой задачи.

Мехмат: уйти не значит бросить

После школы я осуществил свою мечту — поступил на мехмат Московского государственного университета. А потом неожиданно для самого себя через два года бросил учебу и ушел из университета. Мне все надоело, сами стены Главного здания МГУ давили на меня.

Но с математикой до конца не расстался. Еще в школе я познакомился с замечательным человеком Игорем Федоровичем Шарыгиным, который был ключевой фигурой в российском математическом образовании, прежде всего по геометрии. Ни одна олимпиада не обходилась без его задач, он много ездил по стране, читал лекции для учителей, к тому же это был разносторонний человек с удивительным интересом к жизни. Если вы откроете предисловие к любому его учебнику геометрии, вы сразу увидите, что его написал интересный человек, любящий не только математику, но и философию, историю, искусство, поэзию.

Когда я ушел из университета, то стал больше работать с Игорем Федоровичем. Мы придумывали задачи на различные олимпиады, написали задачник по геометрии для школьников, вместе начинали писать учебник. Так прошло два года, у меня появилась семья, в основном я зарабатывал репетиторством. Времена были нелегкие — начало 1990-х. Мы жили вместе с тещей, она была инвалид, за ней ухаживала ее мама, так что мне приходилось содержать пять человек. И я был уверен, что в университет не вернусь, было не до того.

Я шел домой и думал: что же я наделал! На что мы будем жить, если я вернусь в университет?

Но вдруг стали происходить странные вещи. Я начал читать вместо художественной литературы свои университетские учебники, которые я изучал на 1-2 курсе: линейную алгебру, матанализ, теорию комплексного переменного. Читал их заново с огромным интересом и испытывал наслаждение от красоты математики. Я все больше и больше стал жалеть, что перестал учиться. Но прекрасно понимал, что пути назад нет. Однако вскоре я буквально столкнулся в метро с Сергеем Владимировичем Конягиным, с которым до этого не виделся больше двух лет. Он спросил меня, когда я пришлю ему текст статьи, о которой мы договаривались еще на 2-м курсе (я тогда решил одну старую проблему, и Сергей Владимирович настаивал, чтобы я опубликовал свое решение). Я был удивлен: прошло два года, а он меня помнил! Неожиданно для себя самого я вдруг выпалил: «Я хочу восстановиться в университете и снова пойти к вам. Вы меня возьмете?» Он ответил, что конечно возьмет. Я шел домой и думал: что же я наделал! На что мы будем жить, если я вернусь в университет? Я переживал, что дома меня не поймут, кто-то же в семье должен работать. Но оказалось, что моя жена давно этого ждала и была рада моему решению.

Я восстановился на третий курс и больше уже никуда не уходил. У меня появилось четкое понимание, что математика — моя жизнь, и от нее никуда не деться. И я до сих пор живу с этим убеждением. И очень рад, что тогда не ушел в коммерцию или финансы, как многие мои однокурсники, а остался в науке. И очень благодарен семье за поддержку и понимание.

Решение математической задачи

Когда я решаю задачи, я получаю удовольствие от того, что что-то получается. Не знаю, с чем сравнить. Это как сшить платье дочке в подарок, но сомневаться, подойдет оно или нет, и вот она примеряет, и вы понимаете, что оно идеально на ней сидит. То, что родилось в вашем воображении, было вами предсказано и рассчитано, воплотилось! Или собрали устройство, включили — и оно работает. Вы что-то придумываете в голове, а в конце вы делаете последний стежок, и все сходится! И второе — для меня математика сродни искусству. В фильме «Андрей Рублев» Феофан Грек, явившийся Андрею с того света, беседует с ним, и тот спрашивает его что-то важное, а Феофан отвлекается, как будто не слышит, смотрит на иконы и фрески, и говорит: «Все таки…Красиво это всё!». Феофан пытается объяснить эту красоту, но не может подобрать нужные слова. Только краски! Так и найденное математическое решение бывает чрезвычайно красиво, а почему — трудно объяснить. Для меня важен этот эстетический момент.

Но не достаточно только решить задачу, надо еще и записать решение, сделать из этого статью. Математическая статья — отдельное произведение, со своими законами жанра. Мы все в какой-то степени писатели и сценаристы, мы постоянно что-то придумываем и записываем это. И написать надо так, чтобы читатель захотел потратить свое время и силы на ваше произведение, чтобы он смог понять ваши идеи. Каждый день, я встаю, завтракаю, сажусь за компьютер — и вперед, буква за буквой рождается текст. Это — когда есть, что писать, когда все в моей голове уже устоялось и сложилось. А когда этого еще нет, хожу из угла в угол и думаю. Также много времени тратится на подготовку лекций и семинаров, на работу с учениками, на написание рецензий по просьбам журналов, на ознакомление со статьями других математиков.

Теория функции и оптимизациия

Я «многостаночник», как и мой учитель, мне интересны разные темы, иногда слабо связанные между собой. Главные направления моей научной работы — теория функций и оптимизация.

Есть много задач в разных областях, от теоретической механики до банковского дела и финансов, которые математически сводятся к одним и тем же принципам. А именно, надо найти минимум интеграла от функции при разных условиях. Наука, которая умеет находить эти оптимальные траектории, оптимальные стратегии — оптимизация.

Всплески имеют столь хитроумное построение, что еще в начале 1980-х годов многие не верили, что они в принципе возможны (они обладают свойствами, которые в каком-то смысле противоречат друг другу)

Теория функций — это геометрия в пространствах бесконечного числа измерений. Точки в этом пространстве — функции. Между ними можно измерять расстояния, осуществлять геометрические построения и т.д. Делается это не только ради любви к искусству (хотя и ради этого тоже), но чтобы уметь приближать одни функции другими, решать функциональные уравнения. У теории функций огромное количество приложений. Одно из них – теория обработки и передачи информации. Это — наука о том, как информация (аудио, фото,  видео и пр.), то есть большие наборы чисел, хранятся в памяти компьютера, а потом воспроизводятся без потери качества. Сейчас мы говорим о компьютере, но этой науке много лет. Больше 100 лет человечество пользовалось для обработки информации так называемыми рядами Фурье, которые были изобретены в начале XIX века.

Жозеф Фурье был министром продовольствия в правительстве Наполеона, свое открытие он сделал во время Египетской кампании Наполеона, пытаясь рассчитать оптимальную глубину винных погребов (в условиях климата Египта французское вино нужно было хранить на другой глубине). В результате родился метод Фурье для изучения и объяснения механизмов теплопроводности — распространения тепла в твердых телах. Фурье предположил, что изначальное нерегулярное распределение тепловой волны можно разложить на простейшие синусоиды, каждая из которых будет иметь свой температурный минимум и максимум, а также свою фазу. При этом каждая такая компонента будет измеряться от минимума к максимуму и обратно.

Для обработки сигналов ряды Фурье стали использоваться в начале XX века, с появлением первых музыкальных записей, и около 50 лет человечество хранило информацию, раскладывая звуки в виде сумм синусов и косинусов и их коэффициентов. Помните «В круге первом» Солженицына? Там герои, работавшие в «шарашке», пытались идентифицировать человека по голосу, раскладывая голосовой сигнал в ряд Фурье. В то время это был главный инструмент работы с аудио сигналом, другие методы только зарождались.

Потом выяснилось, что у рядов Фурье накопилось много недостатков, в частности, они чувствительны к шумам, которые очень сложно отловить, нужно было изобретать новые функции вместо синусов–косинусов. Сначала появились функции Хаара, потом функции Шеннона-Котельникова, а настоящий взрыв исследований в этом направлении произошел в конце 1980-х годов, когда ученые заговорили о вейвлетах. В отличие от существующих в природе волновых функций, таких как синус и косинус (например, мы можем наблюдать волны на море), вейвлеты, или всплески (русский термин для слово wavelet), представляют собой сложные искусственные конструкции. Всплески — это не регулярные функции, а фракталы. Каждый кусочек их графика в малом повторяет весь график, при приближении сохраняя сложный рисунок, похожий на снежинку или береговую линию. В отличие от простых (гладких) функций, которые при приближении превращаются в отрезок прямой (так устроены синусы и косинусы).

Всплеском, в самом общем виде, называют определенную на числовой оси функцию ф, имеющую нулевое среднее и достаточно быстрое убы­вание на бесконечности. То есть функция ф представляет собой затухающее колебание.

Сейчас всплеск–функции во многих задачах вытеснили синусы и косинусы. Но для таких функций нет формул, их можно только приближенно получить на компьютере. Например, всплески имеют столь хитроумное построение, что еще в начале 1980-х годов многие не верили, что они в принципе возможны (они обладают свойствами, которые в каком-то смысле противоречат друг другу). Нужно было не просто на компьютере их построить, но и теоретически обосновать. Что и сделал сначала французский математик Ив Мейер (только что получивший премию Абеля — спустя 30 лет после своего открытия), а затем основные достижения сделала бельгийский математик Ингрид Добеши. Мне посчастливилось с ней общаться и сотрудничать в Принстоне. Это замечательная женщина, великодушный и добрый человек, гениальный ученый. В настоящее время в теории всплесков работают сотни исследователей по всему миру.

Сейчас беременным женщинам делают скрининг и анализ крови плода за одну процедуру — одновременное УЗИ плода, и оно же выявляет вероятность генетических заболеваний. Все это возможно благодаря открытиям современной математики

Меня эта тема привлекает наличием огромного количества пока нерешенных теоретических задач и математической красотой. Хотя в этом поле работает также много практиков, инженеров, которые разрабатывают прикладные программы, используя теоретические математические решения.

Прикладные разработки

Без теории функций и теории оптимизации не будет работать ни интернет, ни мобильная связь, ни современная медицина. Например, одно из применений всплесков — это томография, где программа умеет быстро, в режиме онлайн вычислять коэффициенты вейвлет-преобразований. Используются и многие другие системы функций, а раньше были только коэффициенты Фурье. Сейчас беременным женщинам делают скрининг и анализ крови плода за одну процедуры — одновременное УЗИ плода, и оно же выявляет вероятность генетических заболеваний. Все это возможно благодаря открытиям современной математики, а еще каких-то 15 лет назад этого не было. Причем это связано не только с возможностями компьютеров, скрининг можно делать и на не самых продвинутых компьютерах, это чисто математические разработки. Еще один пример. Около 20 лет назад в институте Стеклова я слушал доклад о математических (теоретических) возможностях автоматически распознавать рукописные тексты. Докладчик говорил о сложных математических вещах, и его слова воспринимались как фантастика. А сегодня, пожалуйста, любой компьютер может это сделать.

Вышка

На факультет компьютерных наук меня позвал Иван Владимирович Аржанцев, мой старый друг по мехмату МГУ, ныне — декан факультет компьютерных наук ВШЭ. И хотя курсов по теории функций или оптимизации в программе не было, он уговорил меня на курс «Дифференциальные уравнения». До этого я преподавал этот предмет, но только один семестр, 15 лет назад, в Роттердаме, на английском языке, и для экономистов, то есть на более низком уровне. Поэтому согласился я не сразу. Было страшновато. Курс нужно было разработать с нуля, пришлось потратить много времени.

Сейчас я веду лекции, семинары и руковожу командой преподавателей и ассистентов всех групп. Это — интересный опыт. По моим ощущениям Вышка отличается от всех университетов, где я преподавал: и мехмата МГУ, и Московского независимого университета, и от западных университетов. У нее свои законы и свои традиции, с которыми нужно считаться, даже если что-то не нравится. На ФКН очень трудолюбивые, настроенные на учебу студенты, что привлекает, но и не дает расслабиться самому. Например, сейчас мне надо придумать интересное домашнее задание для довольно сильного второго курса, где многие студенты справляются со всем и на семинарах, и в домашних заданиях (не только по моему курсу, но и по другим). А нужно, чтобы студенты сохранили интерес к предмету, и часть задач должна быть для них тяжелая. Поэтому я стараюсь каждый раз придумывать интересные и сложные задачи.

Беседовала Людмила Мезенцева